Другие случаи делимости на 4
Иногда требуется проверить делимость на 4
целого числа, которое задано в виде значения некоторого выражения. В таких случаях провести непосредственное деление не представляется возможным. Также использование признака делимости на 4
возможно далеко не всегда. Как же быть в этих случаях?
Основная идея состоит в приведении исходного выражения к произведению нескольких множителей, один из которых делится на 4
. В этом случае на основании соответствующего свойства делимости можно будет сделать вывод о делимости исходного выражения на 4
.
Иногда получить такое представление помогает . Приведем пример для пояснения.
Пример.
Делится ли на 4
значение выражения при некотором натуральном n
?
Решение.
Представим 9
как 8+1
, после чего воспользуемся формулой бинома Ньютона:
Полученное произведение делится на 4
, так как содержит множитель 4
, а выражение в скобках представляет собой натуральное число. Следовательно,
Ответ:
Да.
Достаточно часто доказать делимость на 4
некоторого выражения позволяет . Покажем, как это делается, воспользовавшись условием предыдущего примера.
Пример.
Докажите, что делится на 4
при любом натуральном n
.
Решение.
Покажем, что при n=1
значение выражения делится на 4
. Имеем , а 4
делится на 4
.
Предположим, что делится на 4
при n=k
, то есть, будем считать, что делится на 4
.
Докажем, что делится на 4
при n=k+1
, учитывая, что делится на 4
..
В полученной сумме первое слагаемое делится на 4
, так как мы предположили, что делится на 4
. Второе слагаемое также делится на 4
, так как содержит множитель 4
. Следовательно, вся сумма делится на 4
.
Так методом математической индукции доказано, что делится на 4
при любом натуральном n
.
Еще один подход к доказательству делимости некоторого выражения на 4
заключается в следующем. Если показать, что значение заданного выражения (с переменной n
В полученном произведении содержится множитель 4
, поэтому оно делится на 4
.
При n=4·m+2 получаем
В этом произведении содержится множитель 8
, делящийся на 4
, поэтому все произведение делится на 4
.
При n=4·m+3
имеем
Полученное произведение делится на 4
, так как содержит множитель 4
.
Так доказана делимость исходного выражения на 4
при любом целом n
.
Список литературы.
- Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
- Виноградов И.М. Основы теории чисел.
- Михелович Ш.Х. Теория чисел.
- Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей педагогических институтов.
Данная статья раскрывает смысл признака делимости на 6 . Будет введена его формулировка с примерами решений. Ниже приведем доказательство признака делимости на 6 на примере некоторых выражений.
Признак делимости на $2$
Замечание 3
Если последняя цифра целого числа делится на $2$ без остатка, то и число делится на $2$ без остатка. В других случаях данное целое число не делится на $2$.
Пример 1
Определить, какие из предложенных чисел делятся на $2: 10, 6 349, –765 386, 29 567.$
Решение
.
Используем признак делимости на $2$, согласно которому можно сделать вывод, что на $2$ без остатка делятся числа $10$ и $–765 \ 386$, т.к. последней цифрой данных чисел является число $0$ и $6$ соответственно. Числа $6 \ 3494$ и $29 \ 567$ не делятся на $2$ без остатка, т.к. последняя цифра числа $9$ и $7$ соответственно.
Ответ
: $10$ и $–765 \ 386$ делятся на $2$, $6 \ 349$ и $29 \ 567$ не делятся на $2$.
Замечание 4
Целые числа по результату их делимости на $2$ делят на четные
и нечетные
.
Основные признаки делимости
Приведем основные признаки делимости чисел
:
-
Признак делимости числа на «2»
Число делится нацело на 2, если число является четным (последняя цифра равна 0, 2, 4, 6 или 8)Пример: Число 1256 кратно 2, поскольку оно заканчивается на 6. А число 49603 не делится нацело на 2, поскольку оно заканчивается на 3. -
Признак делимости числа на «3»
Число делится нацело на 3, если сумма его цифр делится на 3Пример: Число 4761 делится на 3 нацело, поскольку сумма его цифр равна 18 и она делится на 3. А число 143 не кратно 3, поскольку сумма его цифр равна 8 и она не делится на 3. -
Признак делимости числа на «4»
Число делится нацело на 4, если последние две цифры числа равны нулю или число, составленное из двух последних цифр, делится на 4Пример: Число 2344 кратно 4, поскольку 44 / 4 = 11. А число 3951 не делится нацело на 4, поскольку 51 на 4 не делится. -
Признак делимости числа на «5»
Число делится нацело на 5, если последняя цифра числа равна 0 или 5Пример: Число 5830 делится нацело на 5, поскольку оно заканчивается на 0. А число 4921 не делится на 5 нацело, поскольку оно заканчивается на 1. -
Признак делимости числа на «6»
Число делится нацело на 6, если оно делится нацело на 2 и на 3Пример: Число 3504 кратно 6, поскольку оно заканчивается на 4 (признак делимости на 2) и сумма цифр числа равна 12 и она делится на 3 (признак делимости на 3). А число 5432 на 6 нацело не делится, хотя число заканчивается на 2 (соблюдается признак делимости на 2), однако сумма цифр равна 14 и она не делится на 3 нацело. -
Признак делимости числа на «8»
Число делится нацело на 8, если три последние цифры числа равны нулю или число, составленное из трех последних цифр числа, делится на 8Пример: Число 93112 делится нацело на 8, поскольку число 112 / 8 = 14. А число 9212 не кратно 8, поскольку 212 не делится на 8. -
Признак делимости числа на «9»
Число делится нацело на 9, если сумма его цифр делится на 9Пример: Число 2916 кратно 9, поскольку сумма цифр равна 18 и она делится на 9. А число 831 не делится на 9 нацело, поскольку сумма цифр числа равна 12 и она не делится на 9. -
Признак делимости числа на «10»
Число делится нацело на 10, если оно заканчивается на 0Пример: Число 39590 делится на 10 нацело, поскольку оно заканчивается на 0. А число 5964 не делится на 10 нацело, поскольку оно заканчивается не на 0. -
Признак делимости числа на «11»
Число делится нацело на 11, если сумма цифр, стоящих на нечетных местах, равна сумме цифр, стоящих на четных местах или суммы должны отличаться на 11Пример: Число 3762 делится нацело на 11, поскольку 3 + 6 = 7 + 2 = 9. А число 2374 на 11 не делится, поскольку 2 + 7 = 9, а 3 + 4 = 7. -
Признак делимости числа на «25»
Число делится нацело на 25, если оно заканчивается на 00, 25, 50 или 75Пример: Число 4950 кратно 25, поскольку оно заканчивается на 50. А 4935 не делится на 25, поскольку заканчивается на 35.
Доказательство признака делимости на 4
Для доказательства признака делимости на 4
нам понадобится следующее представление натурального числа a
. Любое натуральное число a
можно представить в виде a=a 1 ·100+a 0
, где число a 1
получается из числа a
, если в его записи убрать две последние цифры, а число a 0
отвечает двум последним цифрам в записи числа a
. Например, 5 431=54·100+31
. Если же число a
однозначное или двузначное, то a=a 0
.
Также нам пригодятся два свойства делимости:
- чтобы целое число a
делилось на целое число b
необходимо и достаточно, чтобы модуль числа a
делился на модуль числа b
; - если в равенстве a=s+t
все члены, кроме какого-то одного, делятся на некоторое целое число b
, то и этот один член делится на b
.
Теперь можно привести доказательство признака делимости на 4
, который мы предварительно переформулируем в виде необходимого и достаточного условия делимости на 4
.
Теорема.
Для делимости целого числа a
на 4
необходимо и достаточно, чтобы число, отвечающее двум последним цифрам в записи числа a
, делилось на 4
.
Доказательство.
Для a=0
теорема очевидна.
Для остальных целых a
a
есть число положительное, и его можно представить как , о чем мы сказали перед теоремой.
В конце первого пункта данной статьи мы показали, что произведение a 1 ·100
всегда делится на 4
. Если еще учесть приведенные перед теоремой свойства делимости, то приходим к следующим выводам.
Если число a
делится на 4
, то и модуль числа a
делится на 4
, тогда из равенства следует делимость на 4
числа a 0
. Этим доказана необходимость.
С другой стороны из делимости a 0
на 4
и равенства следует делимость на 4
модуля a
, откуда следует делимость на 4
и самого числа a
. Этим доказана достаточность.
Признак делимости на 4, примеры
Чтобы проверить, делится ли на 4
данное , проще всего выполнить деление непосредственно, из однозначных чисел на 4
делятся только 4
и 8
. Разделить двузначное натуральное число на 4
также не составит труда (даже при устном делении). Например, 24
делится на 4
без остатка, так как 24:4=6
, а 83
не делится нацело на 4
, так как 83:4=20 (ост. 3)
(при необходимости смотрите статьи и ). Но чем больше цифр содержится в записи числа, тем «неприятнее» проводить деление.
Для более простой проверки делимости данного многозначного числа существует признак делимости на 4
, который сводит исследование данного числа a
на его способность делиться на 4
к проверке на делимость однозначного или двузначного числа. Приведем формулировку этого признака. Целое число a
делится на 4
, если число, составленное из двух последних цифр в записи числа a
(в порядке их следования) делится на 4
; если же составленное число не делится на 4
, то и число a
не делится на 4
.
Рассмотрим примеры применения признака делимости на 4
.
Пример.
Какие из чисел −98 028
, 7 612
и 999 888 777
делятся на 4
?
Решение.
Воспользуемся признаком делимости на 4
.
Две последние цифры −98 028
дают число 28
, так как 28
делится на 4
(28:4=7
), то и число −98 028
делится на 4
.
Две последние цифры числа 7 612
составляют число 12
, а 12
делится на 4
(12:4=3
), следовательно, 7 612
делится на 4
.
Наконец, две последние цифры числа 999 888 777
дают число 77
, так как 77
не делится нацело на 4
(77:4=19 (ост.1)
), то и исходное число не делится на 4
.
Ответ:
−98 028
и 7 612
.
А как применять признак делимости на 4
, если две последние цифры в записи числа представляют собой, например, 01
, 02
, 03
, …, 09
? В этих случаях цифру 0
, стоящую слева, нужно отбросить, после чего останется однозначное число 1
, 2
, 3
, …, 9
.
Пример.
Делится ли числа 75 003
и −88 108
на 4
?
Решение.
Посмотрим на две последние цифры в записи числа 75 003
— видим 03
, отбрасываем нуль слева и имеем число 3
. Так как 3
не делится на 4
, то по признаку делимости на 4
можно сделать вывод о том, что 75 003
не делится на 4
.
Аналогично две последние цифры в записи числа −88 108
составляют число 8
, а так как 8
делится на 4
, то и число −88 108
делится на 4
.
Ответ:
75 003
не делится на 4
, а −88 108
– делится.
Отдельно нужно сказать о числах, в записи которых справа две подряд цифры (или большее их количество) являются нулями. Приведем примеры таких чисел: 100
, 893 900
, 40 000
, 373 002 000
и т.п. Такие числа делятся на 4
. Обоснуем это.
Число 100
делится на 4
. Действительно, 100:4=25
. позволяет представить любое другое целое число a
, запись которого оканчивается двумя нулями, в виде произведения a 1 ·100
, где число a 1
получается из числа a
, если в его записи справа отбросить два нуля. Например, 588 300=5 883·100
и 30 000=300·100
. А произведение a 1 ·100
делится на 4
, так как содержит множитель 100
, который делится на 4
(смотрите свойства делимости). Так доказано, что любое целое число, в записи которого справа находятся два нуля, делится на 4
.
Доказательство признака делимости на 6
Рассмотрим доказательство признака делимости на 6 с необходимыми и достаточными условиями.
Теорема 1
Для того, чтобы целое число a делилось на 6 , необходимо и достаточно, чтобы это число делилось на 2 и на 3 .
Доказательство 1
Для начала необходимо доказать, что делимость числа a на 6 обуславливает его делимость на 2 и на 3 . Использование свойства делимости: если целое число делится на b , тогда произведение m·a с m, являющимся целым числом, также делится на b .
Отсюда следует, что при делении a на 6 можно использовать свойство делимости для того, чтобы представить равенство в виде a = 6 · q , где q является некоторым целым числом. Такая запись произведения говорит о том, что наличие множителя дает гарантию деления на 2 и на 3 . Необходимость доказана.
Для полного доказательства делимости на 6 , следует доказать достаточность. Для этого нужно доказать, что если число делится на 2 и на 3 , то оно делится и на 6 без остатка.
Необходимо применение основной теоремы арифметики. Если произведение нескольких целых положительных и не равных единицам множителей делится на простое число p , тогда хотя бы один множитель делится на p .
Имеем, что целое число a поделится на 2 , тогда существует такое число q , когда a = 2 · q . Это же выражение делится на 3 , где 2 · q делится на 3 . Очевидно, что 2 на 3 не делится. Из теоремы следует, что q должно делиться на 3 . Отсюда получим, что имеется целое число q 1 , где q = 3 · q 1 . Значит, полученное неравенство вида a = 2 · q = 2 · 3 · q 1 = 6 · q 1 говорит о том, что число a будет делиться на 6 . Достаточность доказана.